Question

已知函數f(x)=log4(4x+1)．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）判斷函數F（x）=f（x）-4在定義域上的單調性，并用定義證明；
（3）設h(x)=log4(a•2x-

3

4

a)，若函數f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過換元，令令t=4^x+1，可求得函數f（x）的值域；
（2）設x₁＜x₂，作差F（x₁）-F（x₂）=log4

1+4x1

1+4x2

，利用函數的性質判斷其符合小于0，從而可證函數F（x）=f（x）-x在定義域上為增函數；
（3）函數f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點?方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一個實數根?4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一個實數根，令t=2^x＞0，解關于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（有且只有一個正根）即可．

解答：解：（1）令t=4^x+1，
∵4^x＞0，
∴t＞1，
∴y=log₄t＞0，
所以函數f（x）的值域為（0，+∞）．…（2分）
（2）∵F（x）=f（x）-4的定義域為R，
∴對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]
=log4

1+4x1

1+4x2

，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，
∴0＜4x1+1＜4x2+1，從而

4x1+1

4x2+1

＜1，
∴log4

1+4x1

1+4x2

＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，
即F（x₁）＜F（x₂），
所以函數F（x）=f（x）-x在定義域上為增函數．…（4分）
（3）因為函數f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點，
即方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一個實數根，
∴4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一個實數根，
∴（2^x）²+1=（a•2^x-

3

4

a），即（2^x）²-a•2^x+

3

4

a+1=0．
令t=2^x＞0，則關于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（*）有且只有一個正根．                            …（6分）
則方程（*）的兩根異號或有兩個相等的正根．
∴

△=0 a 2 ＞0

或

3

4

a+1＜0，
∴a=4或a＜-

4

3

；
綜上所述，實數a的取值范圍是{a|a=4或a＜-

4

3

}．…（8分）

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，考查換元思想與方程思想，考查函數單調性的定義，考查推理與運算能力，屬于難題．