Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

，則下列命題正確的是（　　）

• A．對(duì)任意a＞

  1

  e

  ，方程f（x）=a只有一個(gè)實(shí)根
• B．對(duì)任意a＜

  1

  e

  ，方程f（x）=a總有兩個(gè)實(shí)根
• C．對(duì)任意a＜

  1

  e

  ，總存在正數(shù)x，使得f（x）＞a成立
• D．對(duì)任意a＜

  1

  e

  和正數(shù)x，總有f（x）＞a成立

Answer 1

分析：借助于導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值點(diǎn)也是最值點(diǎn)，再逐個(gè)驗(yàn)證后即可得正確答案．

解答：解：由于函數(shù)f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

（x＞0）
令f ′(x)=0，則1-lnx=0，解得x=e，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f ′(x)＞0即函數(shù)f(x)=

lnx

x

在區(qū)間（0，e）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞e時(shí)，f ′(x)＜0即函數(shù)f(x)=

lnx

x

在區(qū)間（e，+∞）上為減函數(shù)．
則函數(shù)在x=e時(shí)取得最大值，此時(shí)f(x)=f(e)=

1

e

，故C正確
故答案為C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．