已知函數
滿足如下條件：當
時，
，且對任
意
，都有
.
（1）求函數的圖象在點
處的切線方程；
（2）求當
，
時，函數的解析式；
（3）是否存在
，
、
、
、
、
，使得等式
成立？若存在就求出
（、、、、），若不存在，說明理由.
（1）
；（2）
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求出
與
的值，利用點斜式求出相應的切線方程；（2）利用題中的條件結合迭
代法求出函數在區間
上的解析式；（3）構造新函數
，考
查函數
在區間
上的單調性，求出函數在區間上
的最小值
，于是得到
，然后利用分組求和法與錯位相減法來證明
題中相應的等式.
（1）
時，，
，
所以，函數的圖象在點處的切線方程為
，即；
（2）因為，
所以，當
，時，， 
；
（3）考慮函數，，
，
則
，
當
時，
，單調遞減；
當
時，
；
當
時，
，單調遞增；
所以，當，時，
，
當且僅當時，
.
所以，
，
而
，
令
，則
，
兩式相減得，
，
所以，
，
故
，
所以，
，
當且僅當
，、、、、時，
，
所以，存在唯一一組實數，、、、、，
使得等式
成立.
考點：1.導數的幾何意義；2.函數的解析式；3.分組求和法與錯位相減法
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)當a≠
時，求函數y＝f(x)的單調區間與極值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x2＋x)．
(1)若a＝
，求F(x)＝f(x)－g(x)的單調區間；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）當a=l時，求
的單調區間；
（2）若函數在
上是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）令
，是否存在實數a，當
(e是自然對數的底數)時，函數g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
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在
上的最大值和最小值分別記為
，求
；
若
對
恒成立，求
的取值范圍.
,函數
時,求函數
的表達式;
,函數
上的最小值是2 ,求
的值;
與函數
,