Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）求當x∈[0，a]（a＞0）時f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（1）可設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后求出f（x+1），f（x-1）再代入條件f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x中可得方程兩邊對應系數相等即可求出a，b，c的值從而求出二次函數f（x）的解析式．
（2）由f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立，則只要a＜f（x）_min，可求
（3））f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2的對稱軸x=1，需要討論區間端點0，a與對稱軸遠近，①當0＜a≤2時，f（x）_max=f（2）=-1②a＞2時，f（x）_max=f（a）=a²-2a-1

解答：解：（1）設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
∴a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x

2a=2 2b=-4 2a+2c=0

∴f（x）=x²-2x-1（ 5分）
（2）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2在x∈[-1，2]上的最小值為f（1）=-2（  8分）
∵f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立
∴a＜-2（ 10 分 ）
（3））∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2的對稱軸x=1
①當0＜a≤2時，根據二次函數的性質可得，f（x）_max=f（2）=-1
②a＞2時，根據二次函數的性質可得，f（x）_max=f（a）=a²-2a-1
綜上可得，g（a）=

-1，0＜a≤2 a2-2a-1，a＞2

（16分）

點評：本題主要考察利用待定系數法求解二次函數解析式．解題的關鍵是會設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的解析式，二次函數在閉區間上的最值的求解．