Question

已知f（x）對于任意實數x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）已知f（3）=12，集合A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=

5

 }，若A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用賦值法，算出f （0 ）=0，進而得到f（-x）=-f（x），所以f （ x ）是定義在R上的奇函數．
（II）根據單調性的定義，任取x₁＜x₂結合題意可證出f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）為其定義域內的單調增函數；
（III）由f（3）=12，可得f（1）=4，從而得到集合A表示的圖形是單位圓x²+y²=1，根據題意得單位圓與直線x+ay=

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有至一個公共點，由點到直線的距離公式建立關于a的不等式，解之即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
再令y=-x  可得f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x）
∴f （ x ）是定義在R上的奇函數．
（II）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函數滿足f（x₂）＞f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）為（-∞，+∞）單調增函數
（III）∵f（3）=12，∴f（1+1+1）=3f（1）=12，可得f（1）=4
∵A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=

5

 }，若A∩B≠∅，
∴集合A表示的圖形是單位圓：x²+y²=1，點P（x，y）在單位圓x²+y²=1上，
且單位圓x²+y²=1與直線x+ay=

5

有至少一個公共點
∴

| 5 |

1+a2

≤1，解之得a≤-2或a≥2．

點評：本題給出抽象函數，求函數的奇偶性、單調性并討論集合交集不是空集的問題．著重考查了抽象函數的理解、函數的簡單性質和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．