Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-cx+d在x=±1處取得極值，且與直線y=-3x+1切于點（0，f（0）），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3，求導，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式

解答：解：由題意知，f（0）=d=1，且f'（x）=3ax²+2bx+c
由于函數f（x）=ax³+bx²-cx+d在x=±1處取得極值，
故

f′(1)=3a+2b+c=0  f′(-1)=3a-2b+c=0

，整理得

b=0  3a+c=0

又f′（0）=-3，∴c=-3，∴a=1
∴f（x）=x³-3x+1

點評：此題是中檔題．考查利用導數研究曲線上某點的切線問題，體現了數形結合和轉化的思想，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．