Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC為等邊三角形，PE∥CB，M，N分別是線段AE，AP上的動點，且滿足：

AM

AE

=

AN

AP

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABC；
（Ⅱ）求λ的值，使得平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大小為45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 證明：由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，由線面平行的判定定理，所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N-CB-A．所以∠NCA=45°．在△NCA中運用正弦定理得，λ=

3

-1

解答：解：（Ⅰ） 證明：由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，
又依題意PE∥BC，所以MN∥BC．
因為MN?平面ABC，BC?平面ABC，
所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N-CB-A．
因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA為二面角N-CB-A的平面角．
所以∠NCA=45°．在△NCA中運用正弦定理得，

AN

AC

=

sin45°

sin75°

=

2 2

6 + 2 4

=

3

-1．
所以λ=

AN

AP

=

3

-1．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解能力．