Question

已知函數f（x）=2^x-2^-x．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f（x）定義域為R，且滿足f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數．
（Ⅱ）根據f（x）是奇函數，且f（x）在R上遞增，故原不等式等價于f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有 1-m＜m²-1，由此解得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）定義域為R，且滿足f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），故f（x）是奇函數．
（Ⅱ）∵f（x）是奇函數，f（x）定義域為R，當x遞增時，2^x遞增，-

1

2x

遞增，
∴f（x）在R上遞增．
故原不等式等價于f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
再根據f（x）在R上遞增，
∴1-m＜m²-1，解得m∈（-∞，-2）∪（1，+∞），
故實數m的取值范圍為 （-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的定義、函數的單調性的判斷和單調性的性質應用，屬于中檔題．