Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a_n≠0，a₁為常數，且-a₁，S_n，a_n+1成等差數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a₁=3，求數列{log₃a_n}的前n項和R_n
（3）設b_n=1-S_n，問：是否存在a₁，使數列{b_n}為等比數列？若存在，求出a₁的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由-a₁，S_n，a_n+1成等差數列，利用等差數列的定義可得2S_n=a_n+1-a₁．當n≥2時，再利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n+1=3a_n．利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）當a₁=3時，an=3×3n-1=3n．利用對數的運算法則可得log₃a_n=n．利用等差數列的前n項和公式可得R_n．
（3）利用等比數列的前n項和公式可得Sn=

a1(3n-1)

3-1

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，即可得出bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．要使數列{b_n}為等比數列，當且僅當1+

1

2

a1=0，解出即可．

解答：解：（1）∵-a₁，S_n，a_n+1成等差數列，∴2S_n=a_n+1-a₁．
當n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n）=（a_n+1-a₁）-（a_n-a₁），
化為a_n+1=3a_n．
又∵2a₁=a₂-a₁，∴a₂=3a₁．∴數列{a_n}是等比數列，首項為a₁，公比為3．∴an=a1•3n-1．
（2）當a₁=3時，an=3×3n-1=3n．
∴log₃a_n=log33n=n．
∴R_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．
（3）∵Sn=

a1(3n-1)

3-1

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，
∴bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．要使數列{b_n}為等比數列，當且僅當1+

1

2

a1=0，即a₁=-2．
∴存在a₁=-2使數列{b_n}為等比數列．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的定義、通項公式及其前n項和公式，屬于難題．