Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個表面的對角線中，與AD₁所成角為60°的有

8

條（填數字）．

Answer 1

分析：如圖，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，則△AD₁B₁中，AD₁=B₁D₁=AB₁=

2

，所以△AD₁B₁是等邊三角形，因此AB₁和D₁B₁都與AD₁成60°的角，再根據平行線的性質得到DC₁和DB都與AD₁成60°的角．同理可得AC、D₁C、A₁C₁和A₁B都與AD₁成60°的角．由此可得與AD₁所成角為60°的面對角線共有8條．

解答：解：如圖，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中所有棱長均相等，設為1
則△AD₁B₁中，AD₁=B₁D₁=AB₁=

2

∴△AD₁B₁是等邊三角形，∠D₁AB₁=∠AD₁B₁=60°
因此AB₁和D₁B₁都與AD₁成60°的角．
又∵AB₁∥DC₁且D₁B₁∥DB
∴DC₁和DB都與AD₁成60°的角．
同理可得，△AD₁C是等邊三角形，∠D₁AC=∠AD₁C=60°，
因此AC、D₁C、A₁C₁和A₁B都與AD₁成60°的角．
綜上所述，與AD₁所成角為60°的有AB₁、D₁B₁、DC₁、DB、AC、D₁C、A₁C₁和A₁B共8條
故答案為：8

點評：本題給出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁一條面對角線，要我們找出與之成60°角的面對角線條數，著重考查了異面直線所成角的概念，屬于基礎題．