Question

如圖，在直棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90º，AA₁=2，E，F分別為AB、CB中點，過直線EF作棱柱的截面，若截面與平面ABC所成的二面角的大小為60º，則截面的面積為(    )．

A．3或1    B．1    C．4或1    D．3或4  

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：根據截面與平面ABC所成的二面角的大小為60°，故需要分類討論，利用截面為梯形，可以計算各邊長，從而可求截面的面積.解：解：由題意，分類討論：如右圖，

截面為MNFE，延長EM，CN，AA₁，交于點D，∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E、F分別是AC、AB的中點，∴DE⊥EF，∴∠AED為截面與平面ABC所成的二面角，∴∠AED=60°，∵AE= AC=1，∴DE=2∵EF=

BC=1∴S_△DEF=×2×1=1，∵DA=6，∴DA₁=DA∴S_DMN=S_△DEF=，∴截面的面積為1

設截面EFN'M'在底面中的射影為EFPQ，則EF=1，M'Q=2，CE=1，∠M'EQ=60°，∴EQ=

∴PQ=∴射影EFPQ的面積為，∵截面與平面ABC所成的二面角的大小為60°，∴截面EFN'M'的面積為÷cos60°=3故答案為A

考點：截面面積

點評：本題以直三棱柱為載體，考查截面面積的計算，搞清截面圖形是解題的關鍵．