Question

已知f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中含x項的系數(shù)為36，求展開式中含x²項的系數(shù)最小值，及m，n值．

Answer 1

分析：展開式中含x²項的系數(shù)是關于m，n的關系式，由展開式中含x項的系數(shù)為36，可得2m+4n=36，從而轉化為關于m或n的二次函數(shù)求解．

解答：解：∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展開式中含x的項為

C

1 m

•2x+

C

1 n

•4x=（2m+4n）x，
∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中含x項的系數(shù)為36，
∴m+2n=18，
∴f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展開式中含x²的項的系數(shù)為t=

C

2 m

•2²+

C

2 n

•4²=2m²-2m+8n²-8n，
∵m+2n=18，
∴m=18-2n，
∴t=2（18-2n）²-2（18-2n）+8n²-8n=16n²-148n+612
=16（n²-

37

4

n+

153

4

），
∴當n=

37

8

時，t取最小值，但n∈N^*，
∴n=5時t最小，即x²項的系數(shù)最小，最小值為272，此時n=5，m=8．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質，求得m+2n=18是解決問題的關鍵，考查二次函數(shù)的性質，考查配方法與分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．