Question

設函數f（x）=e^xsinx
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）當x∈[0，π]時，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=

2

exsin(x+

π

4

)．
由f′（x）≤0，得sin(x+

π

4

)≤0，
∴2kπ+π≤x+

π

4

≤2kπ+2π，即2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

．
∴f（x）的單調減區間為[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，

3π

4

]是單調增區間，x∈[

3π

4

，π]是單調減區間，又f(0)=0，f(π)=0，f(

3

4

π)=

2

2

e

3

4

π，
∴fmax=f(

3π

4

)=

2

2

e

3π

4

，f_min=f（0）=f（π）=0．