Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）求使F（x）的函數(shù)值為正數(shù)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

x+1＞0 4-2x＞0

，求得x的范圍，可得函數(shù)F（x）的定義域．
（2）化簡F（x）的解析式為log_a 

x+1

4-2x

，分a＞1和0＜a＜1兩種情況，分別利用對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性求得x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得

x+1＞0 4-2x＞0

，解得-1＜x＜2，可得函數(shù)F（x）的定義域是（-1，2）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（4-2x）=log_a 

x+1

4-2x

，
 當a＞1時，由

x+1 4-2x ＞1 -1＜x＜2

，可得

3x-3 2x-4 ＜0 -1＜x＜2

，解得 1＜x＜2，故x的取值范圍是（1，2）．
當0＜a＜1時，由

0＜ x+1 4-2x ＜1 -1＜x＜2

，可得

x+1 2x-4 ＜0 3x-3 2x-4 ＞0 -1＜x＜2

，解得-1＜x＜1，
故x的取值范圍是（-1，1）．

點評：本題主要考查分式不等式、對數(shù)函數(shù)的定義域、對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．