Question

．（本小題滿分14分）

已知橢圓的左焦點為,離心率e=,M、N是橢圓上的動

點。

（Ⅰ）求橢圓標準方程；

（Ⅱ）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點，

使得為定值？，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且點關于原點對稱，點在軸上的射影為，連接 并延長

交橢圓于點，證明：；

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題設可知：……………………………2分

          故……………………………3分

          故橢圓的標準方程為：……………………………4分

（Ⅱ）設，由可得：

……………………………5分

由直線OM與ON的斜率之積為可得：

 ，即……………………………6分

 由①②可得：

     M、N是橢圓上，故

     故，即……………..8分

    由橢圓定義可知存在兩個定點，使得動點P到兩定點距離和為定值;….9分；

（Ⅲ）設

  由題設可知………..10分

  由題設可知斜率存在且滿足………….③

  …………………12分

  將③代入④可得：

……⑤………….13分

 點在橢圓，故

所以…………14分

 

【解析】略