Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，∠DAB=90°，AD=2BC，PB⊥平面PAD．
（1）求證：AD⊥平面PAB；
（2）設點E在棱PA上，PC∥平面EBD，求

PE

EA

的值．

Answer 1

分析：（1）由PB⊥平面PAD得到PB⊥AD，結合AB⊥AD利用線面垂直判定定理，可得AD⊥平面PAB．
（2）連結AC交BD于點F，連結EF．根據線面平行性質定理證出PC∥EF．梯形ABCD中證出△ADF∽△CBF，從而得到

AF

FC

=

AD

BC

=2．最后在△PAC中利用平行線分線段成比例定理，即可求出

PE

EA

的值為

1

2

．

解答：解：（1）∵PB⊥平面PAD，AD?平面PAD，
∴PB⊥AD． …（2分）
∵AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB．        …（5分）
（2）連結AC交BD于點F，連結EF． …（6分）
∵PC∥平面EBD，PC?平面PAC，
平面EBD∩平面PAC=EF，
∴PC∥EF．           …（9分）
由BC∥AD，得△ADF∽△CBF．
∴結合AD=2BC，得

AF

FC

=

AD

BC

=2．…（12分）
∵△PAC中，PC∥EF，∴

PE

EA

=

CF

AF

=

1

2

． 
即

PE

EA

的值為

1

2

    …（14分）

點評：本題在四棱錐中證明線面垂直，并求線面平行時線段的比．著重考查了空間直線與平面平行的性質定理，線面垂直的判定與性質和平行線的性質等知識，屬于中檔題．