Question

已知直線l過點P（-1，-2）
（1）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若直線l與x軸，y軸的負半軸交于A、B兩點，求△AOB的面積的最小值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l在兩坐標軸上的截距相等包括兩種情況，一是過原點，一是斜率為-1，分別求出兩種情況下直線l的方程，進而得到答案；
（2）由已知中直線l過點P（-1，-2），與x軸，y軸的負半軸交于A、B兩點，我們可以設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0），進而根據(jù)S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab，我們易根據(jù)基本不等式，得到△AOB的面積的最小值，即a，b的值，進而得到直線l的方程．

解答：（12分）
解：（1）當截距均為0時，直線l過P（-1，-2）及O（0，0）
方程為：y=2x         （2分）
當截距不為0時，設l的方程為：

x

a

+

y

a

=1
由題意：

-3

a

=1
∴a=-3
∴l(xiāng)的方程為：x+y+3=0
綜上，l的方程為：y=2x或x+y+3=0（6分）
（2）設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0）（7分）
∵點P（-1，-2）在直線l上
∴

-1

a

+

-2

b

=1
∴1≥2

(- 1 a ) (- 2 b )

∴ab≥8，當且僅當

1 a + 2 b =-1 1 a = 2 b

即

a=-2 b=-4

時，取“=”（10分）S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab
∴當a=-2，b=-4時，（S_△AOB）_min=4（11分）
此時直線l的方程為

x

-2

+

y

-4

=1，即2x+y+4=0（12分）

點評：本題考查的知識點是直線的截距式方程，其中（1）的關鍵是分析出直線l在兩坐標軸上的截距相等包括兩種情況，一是過原點，一是斜率為-1，在解答時，易忽略直線l過原點這種情況，而錯解為x+y+3=0．