Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

把點(diǎn)點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵M(jìn)N∥y軸，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，

∴1＜m＜3．

∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣ + ，

∴當(dāng)m= 時，線段MN取最大值，最大值為 ．

（3）

解：假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）．

當(dāng)m= 時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ ， ），

∴PB= = ，PN= ，BN= = ．

△PBN為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)PB=PN時，即 = ，

解得：n= ，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2， ）；

②當(dāng)PB=BN時，即 = ，

解得：n=± ，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣ ）或（2， ）；

③當(dāng)PN=BN時，即 = ，

解得：n= ，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2， ）或（2， ）．

綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ）、（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．

【解析】（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n），結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．