Question

已知一個數列的前n項和S_n＝an²＋bn＋c（a≠0）．

（1）求此數列的一個通項公式；（2）判斷這個數列是否構成等差數列，并加以證明．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）a1＝S1＝a＋b＋c（a≠0）． 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝an2＋bn＋c－ a（n－1）2－b（n－1）－c＝（a＋b）＋2 a （n－1）． 而a 1＝（a ＋b）＋2 a （1－1）＝a ＋b≠S1， 所以  這個數列的通項公式為a n＝ （2）當c＝0時，數列｛a n｝是等差數列； 當c≠0時，數列｛a n｝不是等差數列． 即數列｛a n｝成等差數列的充要條件是c＝0．現證明如下： 先證明必要性． 當n＝1時，a 1＝S1＝a ＋b＋c，當n≥2時，a n＝Sn－Sn－1＝（a ＋b）＋2 a （n－1）． 因為a 2＝3a＋b，a3＝5a＋b，又｛an｝成等差數列，則a2－a1＝a3－a2． 所以3a＋b－a－b－c＝5a＋b －3a－b ． 從而c＝0，即c＝0是｛an｝成等差數列的必要條件． 再證明充分性． 當c＝0時，Sn＝an2＋bn．又an＝Sn－Sn－1＝2an＋b－a（n≥2）． 當n ＝1時，a1＝S1＝a＋b，同時n＝1時，an＝2a n＋b－a，也有a1＝a＋b． 所以an＋1－an＝2a（n＋1）＋b－a－2an－b＋a＝2a（n≥1），2a是與n無關的常數． 所以｛an｝是等差數列，即c＝0是｛an｝成等差數列的充分條件．

提示：

已知Sn求an需分當n－1及n≥2時，掌握用定義證明等差數列．