Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁和F₂，且點A（-，0），B（，0）在橢圓C上，又．
（1）求焦點F₂的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx+b（k＞0）與曲線C交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經過原點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，知|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=2，故軌跡F為以A、B為焦點的雙曲線的右支．由此能求出軌跡方程．
（2）由，得方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有兩個正根x₁，x₂．所以，由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（1）|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，
∴|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=6-4=2，
故軌跡F為以A、B為焦點的雙曲線的右支．
設其方程為：，
∵2a=2，
∴a=1，b²=c²-a²=4．
故軌跡方程為．…（6分）
（2）由，消去y整理，得
方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有兩個正根x₁，x₂．
∴，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由條件知x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²+b²，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
即，
整理得3b²=4（k²+1），即，
∴b²-k²+4＞0，
即顯然成立．
∴
而k＞0，∴b＜0．
∴．
∴．
故b的取值范圍為（-∞，-）．…（13分）
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．