Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0和直線l：x+y-3=0
（Ⅰ）當圓C與直線l相切時，求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線l交于P、Q兩點，是否存在m，使以PQ為直徑的圓經過原點O？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圓C與直線l相切，知R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，由此能求出所求圓的方程．
（Ⅱ）假設存在m使以PQ為直徑的圓經過原點O，則，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立

x2+y2+x-6y+m=0 x+y-3=0

，得2x²+x+m-9=0，由此能推導出存在m=-

3

2

，使以PQ為直徑的圓經過原點O．

解答：解：（Ⅰ）∵圓C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圓心C（-

1

2

，3），
∵圓C與直線l相切，
∴R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，
故所求圓的方程為：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

1

8

（Ⅱ）假設存在m使以PQ為直徑的圓經過原點O，
則設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立

x2+y2+x-6y+m=0 x+y-3=0

，
得2x²+x+m-9=0，
∵△=1-8（m-9）＞0，
∴m＜

73

8

，（8分）
OP⊥OQ?

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x1x2+(3-x1)(3-x2)=2x1x2-3(x1+x2)+9
=m-9+

3

2

+9=0⇒m=

3

2

，
且符合m＜

73

8

，
∴存在m=-

3

2

，使以PQ為直徑的圓經過原點O．

點評：本題考查直線與圓的性質的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．