Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施不能建設開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設．

(I)將（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數S(t)；

(II)若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）時,.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，直線的斜率為在的導函數值，從而得到直線的方程為；進一步通過確定縱、橫截距，計算三角形的面積.

（Ⅱ）應用導數研究函數的最值，遵循“求導數，求駐點，討論導函數的正負，確定最值”. 注意到本題駐點唯一，其必是“最值點”.

試題解析：Ⅰ），直線的斜率為，

直線的方程為

令得  3分

令,得,

的面積,             6分

（Ⅱ）,

因為,由,得,            9分

當時, ,

當時, .

已知在處, ,故有，

故當時,               13分

考點：生活中的優化問題舉例，導數的幾何意義，直線方程，應用導數研究函數的最值.