Question

已知函數f(x)=x-

1

x

-2lnx，如果對任意m，n∈（0，a），當m＞n時滿足

f(m)-f(n)

m-n

＞1，則a的最大值為

 

．

Answer 1

分析：首先對函數f(x)=x-

1

x

-2lnx求導，

f(m)-f(n)

m-n

的值必然與f'（x）的某個值相等，

f(m)-f(n)

m-n

＞1?f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

＞1，即可求出結果．

解答：解：根據題意知可知x＞0，函數f(x)=x-

1

x

-2lnx的導數f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

∵

f(m)-f(n)

m-n

＞1?f'（x）=1+

1

x2

-

2

x

＞1
∴-2x+1＞0
∴x＜

1

2

∴a的最大值為

1

2

故答案為

1

2

．

點評：本題考查了導數的幾何意義，解題過程中要注意函數的定義域．