Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．
（ I） 求證：AB⊥平面PCB；
（II） 求異面直線AP與BC所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的正弦值．

Answer 1

分析：（ I）由題設條件，易證得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由線面垂直的判定定理證得AB⊥平面PCB；
（II）由圖形知，過點A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF，CF即可證得∠PAF為異面直線PA與BC所成的角．在△PFA中求角即可．
（Ⅲ）由圖形知，取AP的中點E，連接CE、DE，可證得∠CED為二面角C-PA-B的平面角，在△CDE中求∠CED即可．

解答：解：（I）證明∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（II）過點A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF，CF．
則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角．
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF．
由三垂線定理，得PF⊥AF．
則AF=CF=

2

，PF=

PC2+CF^

=

6

，
在Rt△PFA中，tan∠PAF=

PF

AF

=

6

2

=

3

，
∴異面直線PA與BC所成的角為

π

3

．
（III）取AP的中點E，連接CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=

2

．
∵CD⊥平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED為二面角C-PA-B的平面角．
由（I）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=

2

．
在Rt△PCB中，PB=

PC2+BC2

=

6

，CD=

PC•BC

PB

=

2× 2

6

=

2

3

．
在Rt△CDE中，sin∠CED=

CD

CE

=

2 3

2

=

6

3

．
∴二面角C-PA-B大小的正弦值是

6

3

．

點評：本題考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，求異面直線所成的角以及二面角，兩個求角題的解決關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵．