Question

已知函數f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

(1)討論函數f(x)的單調區間；

(2)若函數g(x)＝且g(x)≤1恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a>0時，f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為(2) a≥－1.

【解析】(1)f′(x)＝－a＝(x>0)，

當a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

當a>0時，若f′(x)>0，則0<x< ，若f′(x)<0，則x> ，

故此時f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)令h(x)＝ax－1(－1≤x≤0)，

當a＝0時，h(x)＝－1，g(x)max＝f(1)＝0≤1，符合題意．

當a<0時，h(x)max＝h(－1)＝－a－1，f(x)max＝f(1)＝－a，

∴g(x)max＝－a≤1，結合a<0，可得－1≤a<0.

當a>0時，h(x)max＝h(0)＝－1.

若≥1，即0<a≤1，f(x)max＝f(1)＝－a≥－1，

∴g(x)max＝－a≤1，結合0<a≤1，可得0<a≤1.

若<1，即a>1，f(x)max＝f ＝ln－1<－1，

∴g(x)max＝－1≤1，符合題意．

綜上所述，當g(x)≤1恒成立時，a≥－1.