Question

10．已知函數f（x）=log_0.5（x-1）x∈[3，5]，
（1）設g（x）=f^-1（x），求g（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，使得關于x的不等式2^xg（2x）-mg（x）+1≤0有解？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設g（x）=f^-1（x），利用求反函數的方法求g（x）的解析式；
（2）令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]），t∈[3，5]，2^xg（2x）-mg（x）+1≤0，即m≥1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$，求出右邊的最小值，即可得出結論．

解答 解：（1）x∈[3，5]，f（x）=log_0.5（x-1）∈[-2，-1]，
由y=f（x）=log_0.5（x-1），可得x=$（\frac{1}{2}）^{y}$+1，
∴g（x）=f^-1（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]）；
（2）令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]），t∈[3，5]
2^xg（2x）-mg（x）+1≤0，即m≥1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$，
∵t∈[3，5]，
∴1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$的最小值為$\frac{21}{20}$，
∴m≥$\frac{21}{20}$．

點評 本題考查反函數的求法，考查有解問題，考查函數最小值的求法，屬于中檔題．