Question

已知命題p：曲線方程

x2

2-k

+

y2

5-k

=1表示焦點在y軸的雙曲線；
命題q：已知

a

=(x，-k，1)，

b

=(x，x，k+3)，對任意x∈R，

a

•

b

＞0恒成立．
（Ⅰ） 寫出命題q的否定形式￢q；
（Ⅱ） 求證：命題p成立是命題q成立的充分不必要條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根據全稱命題的否定是特稱命題得到命題q的否定形式^?q；
（Ⅱ） 根據充分條件和必要條件的定義進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）￢q：已知

a

=(x，-k，1)，

b

=(x，x，k+3)，?x∈R，

a

•

b

≤0．
（Ⅱ）若曲線方程

x2

2-k

+

y2

5-k

=1表示焦點在y軸的雙曲線，
則

5-k＞0 2-k＜0

，
即

k＜5 k＞2

，
∴2＜k＜5．即p：2＜k＜5．
若q成立，則

a

•

b

=x2-kx+k+3＞0恒成立，
即△=k²-4k-12＜0，
解得-2＜k＜6，
∵（2，5）⊆（-2，6），且（2，5）?（-2，6），
∴命題p成立是命題q成立的充分不必要條件．

點評：本題主要考查含有量詞的命題的否定以及充分條件和必要條件的應用，比較基礎．