Question

為迎接2012年倫敦奧運會，在著名的海濱城市青島舉行了一場奧運選拔賽，其中甲、乙兩名運動員為爭取最后一個參賽名額進行的7輪比賽的得分如莖葉圖所示．
（1）若從甲運動員的每輪比賽的得分中任選3個不低于80且不高于90的得分，求甲的三個得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對值都不超過2的概率；
（2）若分別從甲、乙兩名運動員的每輪比賽不低于80且不高于90的得分中任選1個，求甲、乙兩名運動員得分之差的絕對值ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）由莖葉圖可得甲運動員七輪比賽的得分情況，計算平均得分，從而可求甲的三個得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對值都不超過2的概率；
（2）確定ξ的可能取值，計算相應的概率，從而可得ξ的分布列與期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知，甲運動員七輪比賽的得分情況為：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每輪比賽的平均得分為

.

x1

=

78+81+84+85+84+85+91

7

=84，
顯然甲運動員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個，分別為81，84，85，84，85，其中81分與平均得分的絕對值大于2，所求概率P=

C 3 4

C 3 5

=

2

5

．
（2）設甲、乙兩名運動員的得分分別為x，y，則得分之差的絕對值為ξ=|x-y|．
顯然，由莖葉圖可知，ξ的可能取值為0，1，2，3，5，6．
當ξ=0時，x=y=84，故P（ξ=0）=

C 1 2 C 1 3

C 1 5 C 1 5

=

6

25

當ξ=1時，x=85，y=84或y=86，故P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 1 5 C 1 5

=

8

25

當ξ=2時，x=84，y=86或x-85，y=87，故P（ξ=2）=

2C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

4

25

當ξ=3時，x=81，y=84或x=84，y=87，故P（ξ=3）=

C 1 3 +C 1 2

C 1 5 C 1 5

=

1

5

當ξ=5時，x=81，y=86，故P（ξ=5）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

當ξ=6時，x=81，y=87，故P（ξ=6）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5	6
P	6 25	8 25	4 25	1 5	1 25	1 25

Eξ=0×

6

25

+1×

8

25

+2×

4

25

+3×

1

5

+5×

1

25

+6×

1

25

=

42

25

．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定的取值，計算概率是關鍵．