Question

在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=2

3

，則AB+AC的最大值為

4

7

．

Answer 1

分析：依題意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圓直徑，從而可用角表示出AB，AC，利用三角函數間的關系式即可求得AB+AC的最大值．

解答：解：∵在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=2

3

，
∴在△ABM中，設∠AMB=θ，則∠ABM=120°-θ，0＜θ＜120°，
由正弦定理得：

|AB|

sinθ

=

|AM|

sin(120°-θ)

=

|BM|

sin60°

=

2 3

3 2

=4，
∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°-θ），又點M為邊AC的中點，
∴|AC|=2|AM|=8sin（120°-θ），
∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°-θ）
=4sinθ+8×

3

2

cosθ-8×（-

1

2

）sinθ
=8sinθ+4

3

cosθ
=4

7

sin（θ+φ），（其中tanφ=

3

2

）．
∴當sin（θ+φ）=1時，|AB|+|AC|取得最大值．
∴|AB|+|AC|的最大值為4

7

．
故答案為：4

7

．

點評：本題考查正弦定理的應用，考查三角函數間的關系式及輔助角公式的應用，能用三角關系式表示出AB+AC是關鍵，也是難點，屬于中檔題．