Question

（2010•唐山二模）A、B是橢圓x2+

y2

2

=1上的點，O為原點，OA與OB斜率的乘積等于-2，

OC

=

OA

+

OB

．
（I）求證：點C在另一個橢圓上；
（II）求四邊形OACB的面積．

Answer 1

分析：（I）先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），結合直線的斜率公式得k_OA•k_OB，再利用向量關系式得到：x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，最后得到點C的坐標適合橢圓的方程，從而證得點C在另一個橢圓上；
（II）設直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-

2

k

，點A坐標方程組

x2+ y2 2 =1 y=kx

的解，得

x

2 1

=

2

k2+2

，同理

x

2 2

=

k2

k2+2

，|x₁+x₂|=

2 |k|

k2+2

．|OA|=

1+k2

|x1|，|OB|=

1+(- 2 k )2

|x2|=

k2+4

|k|

|x2|，tan∠AOB=|

k-(- 2 k )

1+k•(- 2 k )

|=

k2+2

|k|

•sin∠AOB=

k2+2

(k2+1)(k2+4)

，再由S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=

1+k2

|x1| 

k2+4

|k|

|x2|

k2+2

(k2+1)(k2+4)

，能求出四邊形OACB的面積．

解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），則x₁²+

y 2 1

2

=1，

x

2 2

+

y 2 2

2

=1，
且k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-2，即2x1x2+y1y2=0，…（2分）

OC

=

OA

+

OB

，即(x，y)=(x1，y1)+(x2，y2），
于是x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，
∴x²=（x₁+x₂）²
=x₁²+x₂²+2x₁x₂=（1-

y12

2

）+（1-

y22

2

）-y₁y₂=2-

1

2

（y₁+y₂）²=2-

1

2

y²，
變形可得

x2

2

+

y2

4

=1，
于是，C在橢圓

x2

2

+

y2

4

=1上．  …（5分）
（II）設直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-

2

k

，
點A坐標方程組

x2+ y2 2 =1 y=kx

的解，得

x

2 1

=

2

k2+2

，同理

x

2 2

=

k2

k2+2

，∴|x₁+x₂|=

2 |k|

k2+2

．…（8分）
|OA|=

1+k2

|x1|，|OB|=

1+(- 2 k )2

|x2|=

k2+4

|k|

|x2|，
tan∠AOB=|

k-(- 2 k )

1+k•(- 2 k )

|=

k2+2

|k|

•sin∠AOB=

k2+2

(k2+1)(k2+4)

，
S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=

1+k2

|x1| 

k2+4

|k|

|x2|

k2+2

(k2+1)(k2+4)

=

1+k2

k2+4

|k|

•

k2+2

(k2+1)(k2+4)

•

2 k

k2+2

=

1+k2

• 

k2+4

|k|

•

k2+2

(k2+1)(k2+4)

•

2 k

k2+2

=

2

．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．