Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁是單位正方體，黑白兩只螞蟻從點A出發沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”．白螞蟻爬行的路線是AA₁→A₁D₁，…，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB₁，…，它們都遵循如下規則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（i∈N^*），設黑白螞蟻都爬完2007段后各自停止在正方體的某個頂點處，則此時黑白螞蟻的距離是（　　）

• A．

  2

• B．1
• C．0
• D．

  3

Answer 1

分析：先根據題意，先通過前幾步爬行，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬6步回到起點，周期為6．再計算黑螞蟻爬完2007段后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2007段后實質是到達哪個點，最后計算出它們的距離即可．

解答：解：由題意，黑螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，
即過6段后又回到起點，可以看作以6為周期，
同理，白螞蟻也是過6段后又回到起點．
所以黑螞蟻爬完2004段后回到A點，再爬3段：AA₁→A₁D₁→D₁C₁到達第三段的終點C₁，
同理，白螞蟻爬完2004段后到回到A點，再爬3段：AB→BB₁→B₁C₁達第三段的終點C₁．
所以它們此時的距離為0．
故選C．

點評：本題以一個創新例子為載體，考查歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關知識，屬于基礎題．