Question

12．設p：實數x滿足：x²-4ax+3a²＜0（a＞0），q：實數x滿足：x=（$\frac{1}{2}$）^m-1，m∈（1，2）．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{4}$，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=$\frac{1}{4}$代入求出p為真時，x的范圍，由指數函數的圖象和性質，求出q為真時，x的范圍，再由p∧q為真，求出兩個范圍的交集，可得實數x的取值范圍；
（Ⅱ）p是q的必要不充分條件，即$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得實數a的取值范圍．

解答 解：（I）p：a＜x＜3a（a＞0），
$a=\frac{1}{4}$時，$p：\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}$…（1分）$q：\frac{1}{2}＜x＜1$…（2分）
∵p∧q為真
∴p真且q真                            …（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}＜x＜1\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$，
即實數x的取值范圍為$\left\{{x\left|{\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}}\right.}\right\}$…（5分）
（II）q是p的充分不必要條件，記$A=\left\{{x\left|{\frac{1}{2}＜x＜1}\right.}\right\}$，B={x|a＜x＜3a，a＞0}
則A是B的真子集                                      …（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ 3a＞1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$…（9分）
得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$，即a的取值范圍為$[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$…（10分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次不等式的解法，指數函數的圖象和性質，難度中檔．