Question

15．已知從“神十”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發芽的概率都為$\frac{1}{3}$，某植物研究所進行該種子的發芽實驗，每次實驗種一粒種子，每次實驗結果相互獨立，假定某次實驗種子發芽則稱該次實驗是成功的，如果種子沒有發芽，則稱該次實驗是失敗的．若該研究所共進行四次實驗，設ξ表示四次實驗結束時實驗成功的次數與失敗的次數之差的絕對值．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及ξ的數學期望E（ξ）；
（Ⅱ）記“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實數集R”為事件A，求事件A發生的概率P（A）．

Answer 1

分析 （1）四次實驗結束時，實驗成功的次數可能為0，1，2，3，4，實驗失敗的次數可能為4，3，2，1，0，ξ的可能取值為4，2，0．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）ξ的可能取值為0，2，4．當ξ=0時，不等式為1＞0對x∈R恒成立，解集為R；當ξ=2時，不等式為2x²-2x+1＞0，解集為R；ξ=4時，不等式為4x²-4x+1＞0，解集為$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不為R，由此能求出事件A發生的概率P（A）．

解答 解：（1）四次實驗結束時，實驗成功的次數可能為0，1，2，3，4，
相應地，實驗失敗的次數可能為4，3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為4，2，0．
$P（{ξ=4}）=C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}{（{\frac{2}{3}}）^0}+C_4^0{（{\frac{1}{3}}）^0}{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{17}{81}$，
$P（{ξ=2}）=C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}（{\frac{2}{3}}）+C_4^1（{\frac{1}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{40}{81}$，
$P（{ξ=0}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$．
所以ξ的分別列為：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

期望$E（ξ）=0×\frac{8}{27}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}=\frac{148}{81}$．…（6分）
（2）ξ的可能取值為0，2，4．
當ξ=0時，不等式為1＞0對x∈R恒成立，解集為R；
當ξ=2時，不等式為2x²-2x+1＞0，解集為R；
ξ=4時，不等式為4x²-4x+1＞0，解集為$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不為R，
所以$P（A）=P（{ξ=0}）+P（{ξ=2}）=\frac{64}{81}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機事件的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．