Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的導函數．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函數f（x）的兩個極值點為x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．設λ=a²+b²-6a+2b+10，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于f（0）=3，則d=3，求出導數后分別代入-1，3，5，得到三個關系式，解出a，b，c，即可得到函數f（x）的解析式；
（2）根據題意知f（x）=ax³+bx²-6x+3，由于函數f（x）的兩個極值點為x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．則得到a與b滿足不等式組即得到點（a，b）的可行區域，又由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，依據其幾何意義，即可求出λ的取值范圍．
解答：（Ⅰ）由于f（0）=3，則d=3，
而f'（x）=3ax²+2bx+c…（1分）
由f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0知
…．（2分）
解得 …（4分）
故f（x）=x³-3x²-45x+3即為所求．…（5分）
（Ⅱ） 據題意，函數f（x）=ax³+bx²-6x+3，則f′（x）=3ax²+2bx-6
又x₁，x₂是方程f^′（x）=0的兩根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0．
則  即  …（7分）
則點（a，b）的可行區域如圖…（10分）
由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，
則λ的幾何意義為點P（a，b）與點A（3，-1）的距離的平方．…．…．（11分）
觀察圖形知點，A到直線3a+2b-6=0的距離的平方d²為λ的最小值
而
故λ的取值范圍是…..（13分）．
點評：此題考查導數的概念及應用以及線性規劃的問題，是一道中檔題．