Question

設向量

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若

.

a

與

.

b

-2

.

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

.

b

+

.

c

|的最大值；
（3）若

.

a

∥

.

b

，求

cos(α+β)

cos(α-β)

的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積以及兩向量垂直時對應的結論即可得到答案；
（2）直接代入向量的模長計算公式結合三角函數的取值范圍即可得到結論；
（3）先根據兩向量平行的等價條件求出關于α和β之間的等式，再代入所求即可．

解答：解：（1）∵

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
∴

a

•

b

=4cosαsinβ+4sinαcosβ=4sin(α+β)，

a

•

c

=4cos(α+β)，
∵

a

•(

b

-2

c

)=0，
∴

a

•

b

=2

a

•

c

，
∴4sin（α+β）=8cos（α+β），
即tan（α+β）=2
（2）∵|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

17-15sin2β

≤4

2

，
即|

b

+

c

|的最大值為4

2

（3）∵

a

∥

b

∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0，tanαtanβ=16，

cos(α+β)

cos(α-β)

=

1-tanαtanβ

1+tanαtanβ

=-

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點評：本題通過向量的數量積為載體，考查兩角和與差的三角函數，考查計算能力，邏輯推理能力．