Question

已知F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，點P在橢圓C上，線段PF與圓x²+y²=b²相切于點Q，且

PQ

=

QF

，則橢圓C的離心率為

5

3

．

Answer 1

分析：設原點為O，左焦點為F′，連接OQ，則|F′P|=2|OQ|，利用Q為切點，可得OQ⊥PF，利用勾股定理及a²-b²=c²，即可求得結論．

解答：解：設原點為O，左焦點為F′，連接OQ  
∵O為F′F的中點，Q又為PF的中點，
∴|F′P|=2|OQ|，
∵Q為切點，
∴|OQ|=b，|F′P|=2b，OQ⊥PF
∴|PF|=2a-2b，PF′⊥PF
∴4c²=4b²+（2a-2b）²
∴3b=2a
∵a²-b²=c²，
∴a²-

4

9

a²=c²，
∴e=

5

3

故答案為：

5

3

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線與圓的位置關系，關鍵是找出幾何量之間的關系．