Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓經過，且右焦點坐標為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設A，B為橢圓的左，右頂點，C為橢圓的上頂點，P為橢圓上任意一點（異于A，B兩點），直線AC與直線BP相交于點M，直線BC與直線AP相交于點N，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓的定義，可得，又，結合，即得解

（2）設，分別表示直線的方程，聯立得到點的坐標，繼而證明，即直線斜率不存在，，即，可得為等腰三角形，即得證

（1）由題意，橢圓的兩個焦點坐標為，記

故

又

故橢圓的方程為：

（2）設，

故：

聯立計算可得：

由于

由于在橢圓上，故，即

故，即直線斜率不存在

令線段中點為

故

故

故為等腰三角形

即得證