Question

已知直線l₁：4x-3y+8=0和直線l₂：x=-1，拋物線y²=4x上一動點P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值是（　　）

• A、

  12

  5

• B、3
• C、2
• D、

  37

  16

Answer 1

分析：設出拋物線上一點P的坐標為（a²，2a），利用點到直線的距離公式，求出P到直線l₁距離d₁=

1

5

（4a²-6a+8），P到直線l₂距離d₂=a²+1，得到d₁+d₂關于a的二次函數表達式，利用二次函數的性質即可算出d₁+d₂的最小值．

解答：解：設拋物線上的一點P的坐標為（a²，2a），
則P到直線l₁：4x-3y+8=0的距離d₁=

|4a2-6a+8|

5

，
∵4a²-6a+8=4（a-

3

4

）²+

23

4

＞0，
∴d₁=

|4a2-6a+8|

5

=

1

5

（4a²-6a+8）
∵P到直線l₂：x=-1的距離d₂=a²+1；
∴距離之和為d₁+d₂=

1

5

（4a²-6a+8）+a²+1=

9

5

a²-

6

5

a+

13

5

=

1

5

（3a-1）²+

12

5

，
當3a=1時即a=

1

3

時，P到直線l₁和直線l₂的距離之和達到最小值，這個最小值為

12

5

．
故選：A

點評：本題給出拋物線y²=4x上一個動點P，求點P到兩條定直線距離之和的最小值．著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的簡單幾何性質和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．