Question

（2013•奉賢區二模）在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，G分別為棱DD₁和CC₁的中點．
（1）求異面直線AE與DG所成的角；
（1）求三棱錐B-CC₁E的體積．

Answer 1

分析：（1）先通過作平行線的方法作出異面直線所成的角，再在三角形中求解即可；
（2）先判斷三棱錐的高與底面，再根據體積公式計算即可．

解答：解：（1）連接BG、EG、BD，∵E、G分別是中點，∴EG∥AB且EG=AB，
∴四邊形ABGE為平行四邊形，∴AE∥BG，
∠DGB是所求的異面直線所成的角                     
正方體的棱長為1，DG=

5

2

，BG=

5

2

，DB=

2

，
∴cos∠DGB=

1

5

∴所求的異面直線的角大小arccos

1

5

．
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∴BC⊥面EGC
∴BC是三棱錐B-C₁CE的高，
∴VB1-C1CE=

1

3

•SC1CE•BC=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

點評：本題考查異面直線所成的角及棱錐的體積．