Question

11．已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展開式中x的系數恰好是數列{a_n}的前n項和S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足${b_n}=\frac{{{2^{a_n}}}}{{（{{2^{a_n}}-1}）（{{2^{{a_{n+1}}}}-1}）}}$，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據二項式定理可得${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，繼而求出數列的通項公式；
（2）根據“裂項求和“即可證明．

解答 （1）解：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展開式中x的系數為$C_1^1+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1=C_2^2+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1$=$C_{n+1}^2=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n．
當n=1時，a₁=1也適合上式．
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=n．
（2）證明：${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}-1}）（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以T_n＜1．

點評 本題考查了二項式定理，前n項和公式、“裂項求和”、遞推式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．