Question

13．設平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$不共線．
（1）求證：向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與垂直；
（2）若兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的坐標形式的運算，兩個向量的數量積公式，求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（2）由條件求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，結合0≤a≤2π，求得α的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（2）∵已知兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等，
∴${（\sqrt{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）}^{2}$，∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
再結合|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$-$\frac{1}{2}$cosα=sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，
∴α-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
∵0≤a≤2π，∴α=$\frac{π}{6}$，或α=$\frac{7π}{6}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的判定，兩個向量的坐標形式的運算，兩個向量的數量積公式的應用，屬于中檔題．