Question

（2012•長春模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），點F₁關于直線16x+12y-9=0對稱點在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=b²上，M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），可得c值，點F₁關于直線16x+12y-9=0對稱點在橢圓上可得a值，進而求出b值后，可得橢圓方程；
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結論．

解答：解：（I）∵右焦點為F₂（1，0）∴c=1
左焦點為F₁（-1，0），點P( 1 ， 

3

2

)
在橢圓上2a=|PF1|+|PF2|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1-------------------------------------（4分）
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1(|x1|≤2)
|PF2|2=(x1-1)2+

y

2 1

=(x1-1)2+3(1-

x 2 1

4

)=

1

4

(x1-4)2
∴|PF2|=

1

2

(4-x1)=2-

1

2

x1--------------------------------------------------------．（7分）
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|2=|OP|2-|OM|2=

x

2 1

+

y

2 1

-3=

x

2 1

+3(1-

x 2 1

4

)-3=

1

4

x

2 1

∴|PM|=

1

2

x1
∴|PF2|+|PM|=2-

1

2

x1+

1

2

x1=2---------------------------------------------------．（10分）
同理可求
|QF2|+|QM|=2-

1

2

x2+

1

2

x2=2
所以|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4為定值．-------------------------------------------（12分）

點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓的位置關系，直線與橢圓的位置關系，熟練掌握橢圓的性質是解答本題的關鍵．