Question

下列四個關于函數f（x）命題：①如果函數f（x）是增函數，則方程f（x）=0一定有解；②如果函數f（x）是減函數，則方程f（x）=0至多有一個解；③如果函數f（x）是偶函數，則方程f（x）=0一定有偶數個解；④如果函數f（x）是奇函數，且方程f（x）=1有解，則方程f（x）=-1也有解；其中正確的命題是：

②④

．

Answer 1

分析：①可舉反例，說明不正確
②結合減函數圖象特征，進行判斷
③結合偶函數的定義，進行判斷
④結合奇函數的定義，進行判斷

解答：解：①如果函數f（x）是增函數，其圖象上升，但未必與x軸相交，即方程f（x）=0不一定有解，比如：函數y=x，（x＞0）．①不正確
      ②如果函數f（x）是減函數，其圖象下降，與x軸至多相交于一點，不會多于兩點，否則與單調性矛盾．②正確
      ③如果函數f（x）是偶函數，且x₀（≠0）是方程f（x）=0的解，即f（x₀）=0，則f（-x₀）=f（x₀）=0，∴-x₀也是方程f（x）=0的解，
        特殊的若還有f（0）=0，則方程f（x）=0有奇數個解  ③不正確；
     ④如果函數f（x）是奇函數，且方程f（x）=1有解，不妨設x=x₀，則f（-x₀）=-f（x₀）=-1，∴方程f（x）=-1也有解-x₀．④正確
     故答案為：②④．

點評：本題考查函數單調性，奇偶性，及其圖象的特征，體現了數形結合的思想方法．