Question

已知函數f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：利用導數求閉區間上函數的極值、最值和對函數單調性的判定．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤（x-），
當x≥1時，令g（x）=（x-）是增函數，g（x）_min=（1-1）=0．
∴a≤0．
（2）∵x=3是f（x）的極值點
∴f′（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x有極大值點x=-，極小值點x=3．
此時f（x）在x∈[-，3]上時減函數，在x∈[3，+∝）上是增函數．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=-18，最大值是：f（1）=-6，（因f（a）=f（4）=-12）．
點評：利用導數求函數的單調性和最值問題，先根據極值確定參數a的值，再求閉區間上的最值．