Question

已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；
②對任意n∈N ^*都有．
（Ⅰ）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）令，試證明： 

Answer 1

解：（I） 由①知，對任意，都有，
由于，從而，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)
（II）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由,即得.
又由（I）知，即.
于是得，又，從而，即.
進(jìn)而由知，.
于是,  
,            ,
,        ,
,      由于,
而且由（I）知，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因此.
從而. 
（Ⅲ）,
，.
即數(shù)列是以6為首項, 以3為公比的等比數(shù)列 .
∴   
于是,顯然,  
另一方面,
從而.     
綜上所述, .