Question

（2008•湖北模擬）已知數列{a_n}滿足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

，且b_n=a_2n-2，n∈N^*
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，設(

3

4

)n•Cn=-nbn，設S_n=C₁+C₂+…+C_n，求證：S_n＜6．

Answer 1

分析：（I）分別將n=2，3，4代入到a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數) an-2n(n為偶數)

中即可得到a₂，a₃，a₄的值．
（II）根據b_n=a_2n-2，然后進行整理即可得到b_n+1=

1

2

b_n，從而證明數列{b_n}是等比數列，進而可求出數列{b_n}的通項公式．
（III）先根據（2）中{b_n}的通項公式求出C_n，然后利用錯位相減法求得數列{C_n}的前n項和，進而求得S_n與6的大小．

解答：解：（Ⅰ）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

（12分）
（Ⅱ）

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

-=

1 2 •(a2n-4n)+2n-1

a2n-2

（5分）
=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，又b1=a2-2=-

1

2

∴數列{b_n}是公比為

1

2

的等比數列，且bn=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得(

3

4

)n•Cn=n•(

1

2

)n，∴Cn=n(

2

3

)n．
令Sn=C1+C2+…+Cn=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n．①
∴

2

3

Sn-(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1②
①-②得

1

3

Sn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n•(

2

3

)n-1=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1∴Sn=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-(

2

3

)n[6+

2

3

•3n]＜6．（13分）

點評：本題主要考查了利用遞推關系求數列前幾項，以及等比數列的定義及通項公式，錯位相減法求數列的前n項和，考查運算能力，屬中檔題．