Question

（2013•汕頭一模）數列{a_n}的前n項和為S_n，Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
（I）設b_n=a_n+n，證明：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若c_n=(

1

2

)n-a_n，P=

2013

i=1

1+ 1 c 2 i + 1 c 2 i+1

，求不超過P的最大整數的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)，令n=1可求a₁，n≥2時，利用a_n=s_n-s_n-1可得a_n與a_n-1之間的遞推關系，構造等可證等比數列
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求nb_n，利用錯位相減法可求數列的和
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求a n=(

1

2

)n-n，進而可求c_n，代入P中利用裂項求和即可求解

解答：解：（Ⅰ） 因為Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
當n=1時，2a₁=-1，則a₁=-

1

2

，…．（1分）
當n≥2時，an-1+sn-1=-

1

2

(n-1)2-

3(n-1)

2

+1，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以bn=

1

2

bn-1，而b₁=a₁+1=

1

2

，…．（3分）
所以數{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
所以bn=(

1

2

)n．…．（4分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nbn=

n

2n

．
所以  ①Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②2Tn=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…．（6分）
②-①得：Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…．（7分）
Tn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n
∴c_n=n…（9分）
而

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
所以P=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

，
故不超過P的最大整數為2013．…..（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解數列的通項公式，數列的錯位相減求和及裂項求和方法的綜合應用