Question

（2013•靜安區一模）已知數列{a_n}的各項均為非零實數，且對于任意的正整數n，都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3．
（1）當n=3時，求所有滿足條件的三項組成的數列a₁、a₂、a₃；
（2）試求出數列{a_n}的任一項a_n與它的前一項a_n-1間的遞推關系．是否存在滿足條件的無窮數列{a_n}，使得a₂₀₁₃=-2012？若存在，求出這樣的無窮數列{a_n}的一個通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，n分別取1，2，3，代入計算，即可得到結論；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13，兩式相減，得2Sn=an+12-an+1，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的任一項a_n與它的前一項a_n-1間的遞推關系；利用a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以無窮數列{a_n}的前2012項組成首項和公差均為1的等差數列，從第2013項開始組成首項為-2012，公比為-1的等比數列，從而可得數列的通項．

解答：解：（1）當n=1時，a12=a13，由a₁≠0得a₁=1．（1分）
當n=2時，(1+a2)2=1+a23，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
當n=3時，(1+a2+a3)2=1+a23+a33，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；（5分）
綜上討論，滿足條件的數列有三個：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．（6分）
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．
從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13．（7分）
兩式相減，結合a_n+1≠0，得2Sn=an+12-an+1．（8分）
當n=1時，由（1）知a₁=1；
當n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=(an+12-an+1)-(an2-an)，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．（12分）
又a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以無窮數列{a_n}的前2012項組成首項和公差均為1的等差數列，從第2013項開始組成首項為-2012，公比為-1的等比數列．
故an=

n(1≤n≤2012) 2012•(-1)n(n＞2012)

．（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項的探究，考查學生分析解決問題的能力，確定數列{a_n}的任一項a_n與它的前一項a_n-1間的遞推關系是關鍵．