Question

方程（a²+1）x²-2ax-3=0的兩根x₁，x₂滿足|x₂|＜x₁（1-x₂）且0＜x₁＜1，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  3

  ）
• B、（1+

  3

  ，+∞）
• C、（-

  3

  2

  ，1-

  3

  ）∪（1+

  3

  ，+∞）
• D、（-

  3

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：根據方程根的個數與判別式之間的關系證明△＞0恒成立，由題意判斷出另一個根的范圍，再由f（1）＞0求出a的范圍，利用f（0）＜0進一步確定兩個根的關系，再由韋達定理求出a范圍，再取交集．

解答：解：∵|x₂|＜x₁（1-x₂），∴x₁（1-x₂）＞0，又∵0＜x₁＜1，∴x₂＜1
設f（x）=（a²+1）x²-2ax-3，∵方程有兩根，∴△=4a²+12（a²+1）＞0恒成立，
則f（1）=a²-2a-2＞0，解得a＞1+

3

或a＜1-

3

；
∵f（0）=-3，∴x₂＜0＜x₁＜1，
則|x₂|＜x₁（1-x₂）可化簡為：x₁+x₂＞x₁x₂，利用韋達定理得

2a

a2+1

＞-

3

a2+1

解得a＞-

3

2

．
∴實數a的取值范圍是：（-

3

2

，1-

3

）∪（1+

3

，+∞）
故選C．

點評：本題考查了一元二次方程的解法，對于含有參數的方程，借助于判別式的符號以及韋達定理、根的范圍對應的函數值的符號，進行求解．