Question

函數．
（1）試求f（x）的單調區間；
（2）當a＞0時，求證：函數f（x）的圖象存在唯一零點的充要條件是a=1；
（3）求證：不等式對于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

解：（1）函數的定義域是（0，+∞），導數f′（x）=-，
若a≤0，導數f′（x）在（0，+∞）上大于0，函數的單調增區間是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，導數大于0，函數的單調增區間是（a，+∞），
在（a，+∞）上，導數小于0，單調減區間是（0，a）
（2）由第一問知道，當a＞0時候，函數f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
所以要使得函數f（x）的圖象存在唯一零點，當且僅當f（a）=0，即a=1
（3）要證，即證，即證
設恒成立
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即
分析：（1）函數的定義域是（0，+∞），求出導數，分a≤0和a＞0兩種情況討論導數的符號，得到單調區間．
（2）由函數的單調性知，函數f（x）的圖象存在唯一零點，當且僅當f（a）=0．
（3）將要證的不等式等價轉化為g（x）＞0在區間（1，2）上恒成立，利用導數求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．
點評：本題考查利用導數求函數的單調區間即單調性，函數的零點及函數恒成立問題，要證g（x）＞0，只要證g（x）
的最小值大于0．